一、引言
由于齒輪減速器具有傳動(dòng)比固定、結(jié)構(gòu)緊湊、傳遞扭矩較大、傳動(dòng)可靠等優(yōu)點(diǎn)，其被廣泛的應(yīng)用于機(jī)械設(shè)備中。在傳統(tǒng)的機(jī)械設(shè)計(jì)方法中，只能通過對(duì)強(qiáng)度、剛度等性能指標(biāo)的校核，不斷試湊，一次設(shè)計(jì)只能得到一組符合性能要求的方案，并且很難確定該設(shè)計(jì)方案是否具有良好的經(jīng)濟(jì)技術(shù)指標(biāo)。而在以往的減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中，由于離散變量的優(yōu)化過程過于復(fù)雜，因此往往采用將齒形系數(shù)等離散變量取定值的方式進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，使得最終的優(yōu)化結(jié)果存在一定的偏差。
本文以二級(jí)減速器為例，改變了以往將離散變量取定值的方式，通過對(duì)離散變量的擬合，建立關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)和離散變量之間的函數(shù)關(guān)系，從而構(gòu)建新的優(yōu)化模型，并采用 MATLAB中的優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，縮短設(shè)計(jì)周期，并找到更可靠的設(shè)計(jì)結(jié)果。
二、建立優(yōu)化模型
該二級(jí)圓柱直齒齒輪減速器的模型如圖1所示。該減速器高速級(jí)連接上級(jí)傳動(dòng)裝置，低速級(jí)直接連接工作機(jī)。已知工作機(jī)額定功率P=9kW，額定轉(zhuǎn)速為 n=80r/ min，要求該傳動(dòng)部分的總傳動(dòng)比為31.5，誤差5%以內(nèi)。現(xiàn)以總中心距最小為目標(biāo)來確定設(shè)計(jì)方案。
圖1 結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖
選取設(shè)計(jì)變量：采用標(biāo)準(zhǔn)齒輪進(jìn)行設(shè)計(jì)，故齒輪分度圓壓力角α=20°。由于齒輪采用非對(duì)稱分布，取齒輪的齒寬系數(shù) φd = 1。各級(jí)齒輪的材料選擇如表1所示。
表1 各齒輪材料參數(shù)表
二級(jí)圓柱直齒齒輪的總中心距為：
式中：m1 和 m2 分別表示高速級(jí)和低速級(jí)的模數(shù);z1 和z3 分別表示高速級(jí)和低速級(jí)的小齒輪齒數(shù);i1 和i2 為高速級(jí)和低速級(jí)的傳動(dòng)比。
由于齒輪減速器的總傳動(dòng)比為 31.5，即i1 *i2 = 31.5，所以i1 和i2 為相關(guān)變量，取其中一個(gè)作為設(shè)計(jì)變量即可。
最終選取的獨(dú)立的設(shè)計(jì)變量為 m1、m2、z1、z3、i1，即：
建立目標(biāo)函數(shù)：將式(1)中的各參數(shù)用設(shè)計(jì)變量來代替，可得到目標(biāo)函數(shù)，即：
參數(shù)擬合：在齒輪的設(shè)計(jì)過程中，離散變量如齒形系數(shù)、應(yīng)力修正系數(shù)對(duì)于齒輪應(yīng)力的計(jì)算有著較大的影響。離散變量的處理不當(dāng)可能會(huì)造成強(qiáng)度的校核出現(xiàn)誤差，并最終導(dǎo)致事故的發(fā)生。
但是對(duì)于離散變量的優(yōu)化方法研究不盡如人意，而連續(xù)變量的優(yōu)化問題已比較完善。所以本文通過MAT- LAB軟件將齒形系數(shù)、應(yīng)力修正系數(shù)等離散變量擬合為連續(xù)函數(shù)，從而進(jìn)行優(yōu)化求解。MATLAB擬合曲線的方式有線性擬合，高斯曲線以及多項(xiàng)式曲線等。由于多項(xiàng)式擬合具有函數(shù)形式簡(jiǎn)單、運(yùn)算速度快、適用于多種類型曲線并且可以隨著最高次冪的增加而不斷減少誤差等優(yōu)點(diǎn)，所以本文選擇多項(xiàng)式擬合來處理離散變量。
本文采用 MATLAB 中的 CurveFittingToolbox 進(jìn)行擬合。在該工具箱提供的圖形化用戶界面(GUI)中選擇 Polynomial 進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，并為了保證計(jì)算的準(zhǔn)確性，要求擬合結(jié)果的SSE值(和方差)要小于0.05。
齒形系數(shù)YFa的擬合： 齒形系數(shù)YFa是與齒輪齒數(shù)Z有關(guān)的離散變量，現(xiàn)將齒數(shù)作為自變量，將齒形系數(shù)作為因變量，繪制其散點(diǎn)圖，如圖2。
圖2 齒形系數(shù)與齒數(shù)關(guān)系散點(diǎn)圖
由于該散點(diǎn)圖呈現(xiàn)明顯的非線性關(guān)系，所以從二次多項(xiàng)式開始擬合，并得到擬合的函數(shù)圖形，如圖3。
圖3 齒形系數(shù)擬合曲線
經(jīng)擬合分析可知，二次多項(xiàng)式擬合、三次多項(xiàng)式擬合和四次多項(xiàng)式擬合的SSE值為0.204，0.08524和0.0272。當(dāng)擬合函數(shù)為四次多項(xiàng)式時(shí)，可滿足誤差要求。
所以最終得到齒形系數(shù)與齒數(shù)的關(guān)系為：
應(yīng)力修正系數(shù)YSa的擬合：應(yīng)力修正系數(shù)YSa同樣只與齒數(shù)有關(guān)，其散點(diǎn)圖如圖4。
圖4 應(yīng)力修正系數(shù)與齒數(shù)關(guān)系散點(diǎn)圖
分析該散點(diǎn)圖可發(fā)現(xiàn)，該圖形雖然呈現(xiàn)了非線性的趨勢(shì)，但是最大值和最小值之間數(shù)值差距較小，分布較為集中。所以從一次多項(xiàng)式開始擬合，并得到擬合的函數(shù)圖形，如圖5
圖5 應(yīng)力修正系數(shù)擬合曲線
經(jīng)擬合分析可知，一次多項(xiàng)式擬合、二次多項(xiàng)式擬合和三次多項(xiàng)式擬合的 SSE 值為0.043，0.007864和 0.001577。雖然最高次冪越高，誤差越小，但是由于一次多項(xiàng)式誤差已可滿足要求，所以應(yīng)力修正系數(shù)與齒數(shù)的關(guān)系為：
設(shè)置約束條件：約束條件是指減速器滿足設(shè)計(jì)要求時(shí)應(yīng)該滿足的條件，其中主要包括對(duì)齒面接觸強(qiáng)度的校核以及對(duì)齒根彎曲強(qiáng)度的校核。此外，還要考慮由于外界等其他因素產(chǎn)生的邊界約束條件以及不干涉條件。
齒面接觸強(qiáng)度條件：由齒面接觸疲勞強(qiáng)度校核公式：
由于一對(duì)嚙合的齒輪接觸應(yīng)力相等，所以只需考慮許用接觸強(qiáng)度較小的齒輪即可。因此，高速級(jí)和低速級(jí)的齒輪接觸強(qiáng)度的約束條件分別為：
式中：kH1，kH3分別表示高速級(jí)和低速級(jí)的齒面載荷系數(shù)，根據(jù)該減速器的工作狀態(tài)取kH1=kH3=1.5;
[σH]1、[σH]3 許用接觸強(qiáng)度：高速級(jí)和低速級(jí)嚙合齒輪的兩種材料的最小值，取[σH]1=[σH]3=523 MPa;
T1、T2：分別表示高速軸和中間軸的轉(zhuǎn)矩，T1 =
單 位 為 N/mm;
zH：區(qū)域系數(shù)，由齒輪分度圓壓力角α=20°可得zH = 2.5 MPa1/2
zE：彈性影響系數(shù)，兩對(duì)齒輪材料都為鍛鋼，其值為 189.8 MPa1/2;
齒根彎曲強(qiáng)度條件： 由齒根彎曲疲勞強(qiáng)度校核公式：
可得高速級(jí)與低速級(jí)各齒輪的彎曲強(qiáng)度的約束條件分別為：
式中：kF1、kF2、kF3、kF4：分別表示高速級(jí)和低速級(jí)的齒根載荷系數(shù)，根據(jù)工作狀態(tài)取kF1=kF2=kF3=kF4=1.5;
將各級(jí)齒輪齒數(shù)帶入式(2)，并將參數(shù)替換為設(shè)計(jì)變量，可得：
將各級(jí)齒輪齒數(shù)帶入式(3)，并將參數(shù)替換為設(shè)計(jì)變量，可得：
不干涉條件：為保證高速級(jí)的大齒輪與低速級(jí)軸線在工作時(shí)，不發(fā)生碰撞干涉，則需滿足：
式中：S：大齒輪齒頂圓和低速軸線間的安全距離，取 S=50mm。
邊界約束：根據(jù)齒輪傳動(dòng)的性能要求，綜合考慮齒輪在制造過程中不發(fā)生根切，傳動(dòng)過程中要保證傳動(dòng)平穩(wěn)、能夠滿足短期過載及高速級(jí)和低速級(jí)的大齒輪入油深度等因素。根據(jù)工程實(shí)際經(jīng)驗(yàn)對(duì)各設(shè)計(jì)變量進(jìn)行邊界約束，其取值范圍分別為：
由此可建立10個(gè)不等式約束條件：
三、程序運(yùn)行結(jié)果及其處理
MATLAB中的fmincon函數(shù)是用于求解非線性多元函數(shù)最小值的優(yōu)化函數(shù)。該函數(shù)可根據(jù)設(shè)定的目標(biāo)函數(shù)、約束條件直接進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。該方法避免了對(duì)算法的重復(fù)編程，相比其他的優(yōu)化方法提高了效率，并且由于該函數(shù)主要針對(duì)非線性問題進(jìn)行優(yōu)化，適合本文的優(yōu)化問題，也使得求出的最優(yōu)解更加可靠。
按照前文所述，建立該優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)、約束條件的 M 文件，并將傳統(tǒng)設(shè)計(jì)結(jié)果x0=[3，3，30，30，5]T 作為優(yōu)化的初始值帶入fmincon函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，得到的優(yōu)化的結(jié)果為
由于在優(yōu)化過程中，將離散變量作為連續(xù)變量考慮，現(xiàn)需將結(jié)果轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的離散數(shù)據(jù)。同時(shí)，由于x當(dāng)前的值為最優(yōu)解，對(duì)x進(jìn)行離散化之后并不能確定最優(yōu)解的取值，因此選擇x中各個(gè)參數(shù)的雙邊數(shù)值作為可行解，進(jìn)行下一步的分析。
x1、x2 表示模數(shù)，只能按照國標(biāo)中的第一系列或第二系列選取；x3、x4 表示齒數(shù)，只能取整數(shù)，可得：
x1=2.3009，取2或2.5;
x2=2.8159，取2.5或3。
x3=20.1021，取20或21;
x4=29.4283，取29或30。
對(duì)約束條件分析可知，當(dāng) x1 =2 或 x2 =2.5 時(shí)，會(huì)造成齒根彎曲應(yīng)力過大，約束條件中的 G3(x)～G6(x)無法同時(shí)滿足小于零的要求，因此模數(shù)的取值只能是：x1=2.5，x2=3。
當(dāng)x1、x2 的取值確定之后，僅剩下4組優(yōu)化數(shù)據(jù)，當(dāng)其分別帶入約束條件，發(fā)現(xiàn)都能滿足要求，然后將其帶入目標(biāo)函數(shù)，可得表2。
表2 優(yōu)化結(jié)果分析
對(duì)表2進(jìn)行分析可知，方案1既能滿足所有的約束條件，又能使得中心距最小，滿足設(shè)計(jì)要求。
但是由于嚙合齒輪之間參數(shù)的相關(guān)性，設(shè)計(jì)變量?jī)H僅選取了高速級(jí)和低速級(jí)的小齒輪參數(shù)。所以，當(dāng)選擇傳動(dòng)比為5.72時(shí)，無法保證大齒輪齒數(shù)為整數(shù)，因此還要對(duì)大齒輪齒數(shù)進(jìn)行效驗(yàn)、圓整。高速級(jí)大齒輪齒數(shù)z2 =20* 5.72=114.4，取114；低速級(jí)大齒數(shù)齒數(shù)z4 =29*31.5/ 5.72=159.7，取160。經(jīng)過大齒輪圓整之后，傳動(dòng)比變?yōu)?img src="http://www.geartoutiao.com/storage/editor/images/4a47a0db6e60853dedfcfdf08a5ca249642131b17cf52.png" alt="" width="158" height="51" data-mce-src="http://www.geartoutiao.com/storage/editor/images/4a47a0db6e60853dedfcfdf08a5ca249642131b17cf52.png" />滿足誤差5%之內(nèi)的要求。最終得齒輪的參數(shù)如表3，并得到實(shí)際中心距為451mm。
表3 各齒輪參數(shù)
四、結(jié)論
通過該二級(jí)減速器的優(yōu)化過程，可得到結(jié)論：
(1)結(jié)合表2和表3中優(yōu)化前后的數(shù)據(jù)對(duì)比發(fā)現(xiàn)：采用傳統(tǒng)方法設(shè)計(jì)的減速器中心距為598.5mm，而采用優(yōu)化設(shè)計(jì)得到的中心距為 451mm，比原方案中減少了約25%。所以通過優(yōu)化設(shè)計(jì)的方式節(jié)約了材料，使得結(jié)構(gòu)更為緊湊，達(dá)到了更好的經(jīng)濟(jì)技術(shù)指標(biāo)。
(2)在設(shè)計(jì)過程中，通過數(shù)學(xué)擬合的方法，將離散變量轉(zhuǎn)化為連續(xù)變量，從而使得離散變量和設(shè)計(jì)參數(shù)之間建立了函數(shù)關(guān)系，并通過限定 SSE值的方式，確保了擬合函數(shù)的準(zhǔn)確度。該方法相對(duì)于以往的將離散變量直接取定值的方式更加嚴(yán)謹(jǐn)，也使得優(yōu)化的結(jié)果更加可靠。
(3)整個(gè)設(shè)計(jì)方案的編程、求解是在 MATLAB 中進(jìn)行的。該軟件提供了大量的內(nèi)嵌函數(shù)，從而在擬合、優(yōu)化的過程，減小了編程的難度，可以讓工程人員將精力放在主要問題的求解上。同時(shí)計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的運(yùn)算性能避免了傳統(tǒng)方法和人工計(jì)算的試錯(cuò)過程，提高了設(shè)計(jì)的效率，也為以后的減速器設(shè)計(jì)提供了參考，具有一定的應(yīng)用前景及實(shí)際指導(dǎo)意義。
參考文獻(xiàn)略