在以航空發動機為代表的高速旋轉機械中，齒輪是核心傳動元件，用于保證不同轉速的部件互相匹配并高效傳遞功率，其可靠性至關重要。一旦齒輪發生故障，將直接影響航空發動機的使用安全，輕則會使系統振動增大、傳動失效，嚴重時甚至會導致災難性事故。某型起動機發生兩起減速器輸入主動齒輪斷齒故障，一起起動機自由渦輪盤甩出，險些釀成大禍。因此開展齒輪早期故障診斷與預警方法的研究至關重要。
當齒輪出現剝落、齒根裂紋或部分斷齒等局部故障時，會在頻譜上產生特有的瞬態調制，在嚙合頻率及其諧波兩側產生一系列邊頻帶，經包絡解調后，會在包絡譜中呈現故障齒輪所在軸轉頻的多階諧波，可利用上述特征實現故障診斷與預警指標構建。然而受測試環境影響，故障特征往往淹沒于噪聲中，需采用信號處理方法恢復、增強。唐貴基等結合奇異譜分解和奇異值分解，實現強背景噪聲下的齒輪故障判別。毛一帆采用尺度空間分解與稀疏表示重構的方法，有效提取強噪聲環境下的齒輪故障特征。Sim等針對齒輪故障嚙合、邊頻特征，采用多次濾波的方式，分步構建了多種頻域特征量，并通過Fisher判據篩選出最優指標。
在實際測試中，往往采用50 kHz以上的高采樣頻率來采集振動信號，這會導致數據量龐大，部分信號處理方法將無法快速、高效地做出診斷。假設 1 秒采集到信號長度為 N，若信號處理算法中需構建 N×N維等大型矩陣將會超出一般計算機內存，無法計算。對于高采樣頻率信號，一種方法是降采樣或縮短計算信號的時長，但這樣會降低頻率分辨率，影響診斷精度，失去提高采樣頻率來分析的價值與意義;另一種方法是結合多種快捷、有效的信號處理算法，構建一套協同診斷方法與預警指標，以實現高采樣頻率下的故障診斷與在線監測。
本文將小波變換、自相關分析、倒頻譜分析等多種快捷、有效的信號處理方法有機結合，提出一種齒輪故障協同診斷方法，并構建反映故障演化特征量：倒頻譜幅值比(Cepstral Amplitude Ratio，CAR)。最后用兩組高采樣頻率公開數據集的分析結果驗證方法的有效性與優越性。
1、理論基礎
小波變換
小波變換具有帶通濾波性質，選擇合適的小波基底對信號進行分解，可以得到不同頻段內振動信號的特性和變化規律。通過小波變換能篩選得到反映齒輪故障沖擊特性較強的共振頻帶，濾除干擾雜波，降低后續包絡檢波難度。
設原始信號x ( t )，小波變換可表示為：
其中：Wa ( b )為小波系數，*表示復共軛，φa, b ( t )表示小波函數，a為尺度參數，b為位移參數。
由公式(2)知，子小波是由母小波通過改變尺度參數 a 和位移參數 b 而得，其中 a 控制小波帶寬范圍。因此小波變換得到的子信號可以理解為通過母小波的參數變換，得到一系列具有不同帶寬范圍的帶通濾波器，原始信號 x ( t )與帶通濾波器作用的結果。
Daubechies 小波是常用的母小波，簡寫為 dbN(N為階次)，具有很好的正則性，可以在信號重構過程中獲得較好的平滑效果。N的常用范圍為2～20, 隨著N的增加，dbN的光滑性越好，頻域的局部化能力越強，但會使時域緊支撐性減弱，計算時間增加。本文為平衡頻域局部化能力和計算時長，選用 db8 作為母小波進行信號分解。
分解層數決定頻帶劃分疏密程度。如果分解層數過少，噪聲等干擾成分無法有效篩選、分離;如果分解層數過多，將增加待處理數據的維數。實際應用時，需結合經驗和實際情況選取合適的分解層次，對本文要處理的故障信號數據進行分析、測試和驗證，5層分解最為合適。
自相關分析
自相關可表達信號自身在不同時刻的相關性。因為周期函數的自相關結果仍是周期函數，而白噪聲的自相關結果是δ函數，所以通過自相關分析，可有效濾除噪聲干擾，突出周期信號成分。設τ為時間延遲，自相關函數R ( τ )可表示為：
本文使用歸一化自相關，包括：去均值、自相關和歸一化處理。
倒頻譜
倒頻譜分析具有“概括”能力，可將頻譜上同一系列的邊頻譜線簡化為倒頻譜上的單根或幾根譜線，譜線的位置是原頻譜圖上邊頻的頻率間隔，譜線的高度反映了這一系列邊頻成分的強度，利于監測者識別數對齒輪嚙合中的故障。設x (t)的功率譜為Sx (f)，倒頻譜Cx (t)可表示為：
其中：F-1 表示傅里葉逆變換。
若將 x ( t )看作激勵脈沖 y ( t )與傳遞路徑的頻響函數h ( t )線性卷積的結果，根據傅里葉變換性質，Sx ( f )和Cx ( t )可表示為：
由公式(6)知，Cx ( t )由兩部分組成：一部分是高倒頻率，在倒頻譜上形成波峰，表示系統激勵特征;另一部分是低倒頻率，在倒頻譜左側，表示系統響應特征。激勵和響應在倒頻譜圖上占有不同的頻率范圍，倒頻譜可提供清晰的分析結果。
2、方法流程
由上節知，小波變換、自相關分析、倒頻譜分析均無需構建大型矩陣進行計算，可快捷有效地對原始信號進行頻帶分解、降噪、凸顯齒輪故障特征的作用。在此基礎上，本文提出一種齒輪故障協同診斷方法，具體步驟為：
(1)對原始振動加速度信號x進行高通濾波，濾除轉頻，避免后續干擾;
(2)采用db8小波進行5層分解和單層重構，得到6個子信號xd1、xd2、xd3、xd4、xd5、xd5;
(3)分別計算各子信號與原始信號的皮爾遜相關系數ρ，將大于λ的子信號加和，得到重構信號x ′ ，λ賦值時應參考子信號與原始信號的ρ，濾除ρ較低的子信號，保留ρ較高的子信號，對本文待處理數據進行分析，選取λ=0.3最為合適;
(4)對重構信號 x’進行包絡解調、歸一化自相關和倒頻譜分析，得到協同倒頻譜，用以識別故障特征;
(5)構建故障演化特征量——倒頻譜幅值比(Cepstral Amplitude Ratio，CAR)，定義為倒頻譜中各階故障特征倒頻對應幅值的均值與高倒頻率幅值均值之比，表達式如下：
其中：fr,min 表示各軸中的最小轉頻，tend 表示信號時長，Δf為搜索容差，本文設置為100/fs，搜索階次先與邊頻能量比(Sideband Energy Ratio，SER)相同，設置為6階，后續將討論不同階次組合對故障演化效果表達的影響。
3、試驗驗證
PHM 2009 Challenge Data
本節采用PHM 2009 Challenge Data中小型試驗臺正/斜齒輪的故障數據集進行分析。該數據集是PHM協會在2009年國際競賽中公開的全套齒輪箱數據，包括正/斜齒輪、軸承和軸的故障，其試驗平臺的內部結構和結構簡圖如圖1(a)至圖1(b)所示。齒輪箱內部包含輸入軸、空轉軸、輸出軸，兩對齒輪副，嚙合方式分為直齒輪模式和斜齒輪模式。箱體兩側各裝有振動加速度傳感器以采集信號。
選擇分析左側測點數據，正齒輪嚙合模式，故障齒輪安裝在空轉軸，輸入轉速為35 Hz，采樣頻率為 66.67 kHz，采樣時長 4 秒，取前 1 秒數據。時域波形、頻譜及倒頻譜如圖2(a)至圖2(c)所示。
由于信號經倒頻譜處理后，一般左側表示系統響應特征的譜線幅值遠大于右側表示系統激勵特征的譜線幅值，為便于觀看，后文的倒頻譜及協同倒頻譜的顯示范圍均為[1/fr,min,tend/2]。時域波形中存在較為明顯脈沖信號波形，波峰間隔為 1/fidler，但僅憑時域波形來判斷是否存在故障有失全面性，需結合頻域以綜合判斷;頻譜中1倍嚙合頻率兩側分別有1 倍空轉軸轉頻fidler為間隔的邊頻存在，但幅值較低，且未出現多倍調制分量，故障特征較弱;倒頻譜中存在空轉軸對應的 1、2、3 階成分，但幅值低于左側輸入軸對應的 1、2 階成分，與時域波形判斷故障結論相悖，易誤導監測者得出錯誤診斷結論。
下面采用本文所述的協同診斷方法進行診斷，將高通濾波后的信號使用db8小波進行5層分解并單層重構，得到6個子信號，各子信號與原始信號的皮爾遜相關系數 ρ 如表 1 所示，選擇大于 0.3 的 xd4、 xd5、xa5加和重構，得到x′，對其包絡解調、歸一化自相關、倒頻譜計算后得到如圖3所示協同倒頻譜圖，圖中僅存在空轉軸轉頻對應的1～5階倒頻，故障特征清晰、顯著，與時域波形判斷故障結論相符，可見本文所述方法可有效剔除非故障軸等雜波干擾、突顯故障特征。
為驗證方法普適性，并探討不同階次組合對故障提升效果表達的差異，計算不同轉速下的16個信號，長度均為1秒，計算結果如表2所示。其中，Coll-CAR表示協同診斷方法下的1～6階故障倒頻幅值的均值與整體均值之比，Coll-CAR(1～3)表示 1～3 階，Coll-CAR(4～6)表示4～6階。
由表 2 可知，Coll-CAR 的數值整體大于 CAR，相比于CAR，Coll-CAR均值提高了24.75 %，說明信號經過協同方法處理后，故障特征得到了有效增強。而不同階次組合構成的特征量有Coll-CAR(1～3)>Coll-CAR>Coll-CAR(4～6)的大小關系，說明提升前后的差異主要體現在1～3階故障倒頻幅值的均值，相比于 CAR，Coll-CAR(1～3)均值提高了 64.77 %，采用Coll-CAR(1～3)表達故障提升效果更佳。
UNSW齒輪全壽命數據集
本節采用 University of New South Wales(UN-SW)公開的單級正齒輪箱齒輪磨損全壽命數據集進行分析。試驗平臺內部結構圖和結構簡圖如圖4(a)至圖4(b)所示。該齒輪箱由單級齒輪副、輸入軸和輸出軸構成，各軸對應齒輪齒數分別為19和52，振動加速度傳感器安裝在齒輪箱外殼頂部。分別進行潤滑和干燥試驗用以模擬兩種不同磨損機制。
其中潤滑試驗共持續67小時17分鐘，每5分鐘采集一次數據，采樣頻率100 kHz，采樣時長4秒，用以記錄輸入軸上小齒輪的點蝕疲勞擴展過程。選擇分析振動加速度測點1秒數據計算特征量，包括：邊頻能量比(SER)、有效值(Root-mean-square，RMS)、協同方法處理后的倒頻譜能量比(Coll-CAR)、原始信號的倒頻譜能量比(CAR)。各特征量變化趨勢如圖5所示。其中RMS變換范圍為[0.02,0.035]，將值擴大 350 倍后與其他特征量共同顯示在同一張圖中。RMS呈現先下降后上升的變化趨勢，在29小時36分鐘后開始階梯式上升，時間較晚且變化范圍較小，不利于監測者發現;SER在前期變化幅度較小，保持穩定，到29小時36分鐘后陡然上升，但到42小時 39 分鐘后又逐步下降，未呈現整體上升趨勢;Coll-CAR和CAR均呈現整體上升趨勢，而Coll-CAR變化更加明顯，該特征量在21小時58分鐘時迅速上升，此時其他特征量無顯著變化，該特征量后期雖有波動，但整體數值大于前半段，前后差異顯著，證明通過協同診斷方法，故障特征得到有效增強，驗證了本文所述方法的有效性與優越性。
圖 6(a)為試驗過程中 0 時 0 分記錄的第 1 秒數據的協同倒頻譜結果，在圖中可以識別出輸入軸的 1、2、3階倒頻以及輸出軸的1、2階倒頻，但整體幅值較低，沒有明顯故障特征。圖6(b)為試驗過程中67 時14分記錄的第1秒數據的協同倒頻譜結果，在圖中可以明顯識別出輸入軸的1～6階倒頻，且沒有輸出軸倒頻干擾，故障特征顯著。
下面將探討不同階次組合對故障演化效果表達的影響，各個特征量變化趨勢如圖7所示。
由圖可知，各個特征量數值關系為Coll-CAR(1～3)>Coll-CAR> Coll-CAR(4～6)，與表2結果相同。Coll-CAR(1～3)可以看作是 Coll-CAR 的增強特征量，特別是在21小時58分鐘前后(橙色框內)，Coll-CAR(1～3)和Coll-CAR均有顯著增長，而Coll-CAR (1～3)的變化更加劇烈，Coll-CAR(4～6)只有微弱波動，證明曲線呈現上升趨勢的主要影響因素為1～3 階故障倒頻幅值的均值，采用 Coll-CAR(1～3)表達故障演化效果更佳。
4、結語
本文針對高采樣頻率下齒輪故障診斷算法復雜，需要較大的計算資源，所構建的預警指標不能單調地反映齒輪故障的演化趨勢的不足，提出了一種快捷、有效的協同診斷方法，并構建反映故障演化特征量：倒頻譜幅值比(CAR)，兩組高采樣頻率公開數據集的分析結果表明：
(1)協同診斷方法能有效濾除雜波干擾，凸顯故障特征，所得到的Coll-CAR和Coll-CAR(1-3)，相比于原始倒頻譜的 CAP，表達效果可分別提升 24.75 %和 64.77 %，Coll-CAR(1-3)可更好表達故障提升效果;
(2)相比于RMS、SER、CAR和Coll-CAR，協同方法下由1～3階故障倒頻幅值計算的Coll-CAR(1- 3) 表征故障演化效果更佳。
參考文獻略.